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一道IMO 备选题的再推广

类别：初等数学研究成果 | 浏览(304) | 评论(0) 2008-10-05 20:23

一道IMO 备选题的再推广

        545200 广西柳城县实验中学梁卷明

      IMO－1979备选题（由荷兰提供）：在等边△ABC内取点K,L,M,使得:
∠KAB=∠LBA=15°,∠MBC=∠KCB=20°,∠LCA=∠MAC=25°, 求△KLM
的三内角.
    笔者在文[3]中将此题推广为：
    定理1：在等边△ABC内取点K,L,M,使得：∠KAB=∠LBA=α，
∠MBC=∠KCB=β,∠LCA=∠MAC=γ,且α+β+γ＝60°，则：∠LMK=3α,
∠MLK=3β,∠MKL=3γ.

    最近笔者又发现：

    定理2：在等边△ABC内取点K,L,M,使得：
∠KAB=∠LBA=α，∠MBC=∠KCB=β,∠LCA=∠MAC=γ,且α+β+γ＝60°，
又延长AM 交BC 于点Q,再联结QK 并延长
交AB于点R，则有：
（1）MQ是优角∠LMK的一条三等分角线.
（2）KQ是∠LKM的外角的一条三等分角线.
（3）MR是劣角∠LMK的一条三等分角线.
   证明：由文[3]知∠AMK=60 °
+α,故∠QMK=180°-∠AMK=120°-α,
∴MQ是优角∠LMK的一条三等分角线.
又由文[3]易知∠MKQ=∠AMK-∠AQK=
∠AMK-∠ACK(点A,K,Q,C共圆)＝( 60°+α)
－( α+γ)＝60°-γ，∴KQ是∠LKM的外角
的一条三等分角线.
又∠MKQ=60°-γ=∠BAC-∠MAC
=∠MAR,故点M,A,R,K共圆, ∴∠KMR=∠KAR=α,
∴MR是劣角∠LMK的一条三等分角线.证毕！
    由本文定理2知文[2]末的猜想显然成立！！！
参考文献：
    1.梁卷明，三等分角线构成的三角形的性质，中学数学（湖北），1997，7.

    2.梁卷明，莫莱魔方的美妙性质，柳州师专学报，2001，2.

    3.梁卷明，一道IMO 备选题的推广，中学数学（湖北），2003，3.

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